Найти треугольник данного периметра p, который вращением вокруг одной из своих сторон создает тело наибольшего обьема.

Ответ: равнобедренный треугольник с основанием р/4 и боковыми сторонами 3р/8.

По известной формуле объём тела, образованного вращением фигуры площади S равен 2Pi*S*l, где l ---расстояние от оси вращения до центра тяжести фигуры. (Для треугольника, вращающегося около одной из сторон, ту же формулу легко получить с помощью интеграла. )
Пусть
а ---сторона треугольника, около которой он вращается;
h ---высота треугольника, опущенная на сторону а.
Поскольку центр масс треугольника находится в точке пересечения его медиан, то l=h/3. Поэтому объём образующегося тела вращения равен
V=Pi/3*a*h^2.
Заметим, что при фиксированных периметре р и основании а треугольника его высота будет максимальной в том случае, если он ---равнобедренный. При этом боковые стороны треугольника равны (р–а) /2, а
h=sqrt(((p–a)/2)^2–(a/2)^2)=sqrt(p^2/4–pa/2).
Таким образом
V=Pi/3*a*(p^2/4–pa/2)=(2Pi/(3p))*(pa/2)*(p^2/4–pa/2).
По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:
(pa/2)*(p^2/4–pa/2) <= (((pa/2)+(p^2/4–pa/2))/2)^2=p^4/64,
причём равенство выполняется при pa/2=p^2/8, т. е. при

а=р/4. При этом боковые стороны треугольника равны (р–р/4)/2=3р/8.

Объём тела в этом случае равен:
V=Pi*р^3/96.

Имеем некоторый периметр P
Пусть Х - сторона вокруг которой идет вращение.
Расположим на координатной плоскости точки (Х/2, 0) (-Х/2, 0)
Высота этого треугольника будет где-то на эллипсе
x^2/(P/2)^2 + y^2/((P(P-2X)/4)
Для ясности дальнейших действий подставим вместо х - а, вместо y - h
a^2/(P/2)^2 + h^2/((P(P-2X)/4)
Высота разделит наш треугольник на 2 прямоугольных
Коеффициенты наклона гипотенуз будут равны h/(Х/2-а) и h/(Х/2+а)
Интересовать будут квадраты значений проинтегрированные по переменной х
(1-(2а/р) ^2)*(P(P-2X)/4)/(X/2-a)*x^2*dx - интегрируется от а до Х/2
(1-(2а/р) ^2)*(P(P-2X)/4)/(X/2+a)*x^2*dx - интегрируется от -Х/2 до а
При решении будет получен объем, который будет зависеть от одной стороны Х, отклонения от половины этой стороны а и периметра Р.
Далее можно искать экстремум.