После сбора грибов как их хранить? Или лучше варить сразу?

Пока они хранятся, они, с очень большой вероятностью, испортятся (или гниение под действием микроорганизмов, или автолиз, то есть разложение тканей гриба собственными его ферментами) или будут изгрызены "грибными червями" (в действительности это не черви, а личинки каких-то насекомых) . Могут и заплесневеть.
Если нет возможности приготовить сразу, то хранить непродолжительное время лучше в холодильнике, а еще лучше во "фреше" - это зона боле низкой температуры, имеющаяся в некоторых моделях дорогих современных холодильников.
Есть еще вариант - вычистить, вымыть и заморозить в морозильнике. В таком свежемороженом виде грибы нередко продают в магазинах. Но я предпочитаю замораживать уже варёные, жареные или тушеные грибы - меньше надо места, и они меньше страдают, если их случайно разморозить и заморозить снова. Но жареные грибы можно замораживать, только если они пожарены на сливочном или аналогичном масле: из грибов, пожаренных в подсолнечном масле, течет жир даже при температуре -20.
Сушка грибов - это один из наиболее древних и надёжных способов их заготавливать. "Небольшой выход" - чушь: вода уйдёт - всё, что было в них полезного, останется. Но это тоже надо уметь, а в бытовых условиях быстро и много не насушишь. Я их сушил в газовой духовке, нанизав на нитки и подвесив к решетке. Дверца духовки должна быть приоткрыта, чтобы в ней бло жарко, но пар хорошо выходил - иначе грибы не высушатся, а испекутся. Можно сушить в электросушилке для фруктов (прибор с сетчатыми ящиками, вентилятором и тэном - такие продаются) . В любом случае, производительность установки низкая, а сушеные грибы это всё-таки не свежие.

Можно и сушить, можно заморозить, отварив сначала

Можно высушить, но выход будет очень мал.
Лучше сразу употребить.

в банке, только мыть их не нужно

Можно свежие заморозить.

Если есть морозильник, то лучше всего грибы отварить, разложить по пакетам, примерно 1-1,5 кг и хранить. В любое время достанете, разморозите и сделаете все, что пожелаете.