Обязан ли совместитель предъявлять копию трудовой книжки?

Обязан! В ходе любой проверки, если у него будут больничные к примеру, предприятие ОБЯЗАНО предоставить проверяющим органам копию тр. книжки с основного места работы - не думаю, что работодатель возьмет на себя ответственность за него ( легче не принимать!)

Логично. Пусть приносит!

Статья 283. Документы, предъявляемые при приеме на работу по совместительству

При приеме на работу по совместительству к другому работодателю работник обязан предъявить паспорт или иной документ, удостоверяющий личность. При приеме на работу по совместительству, требующую специальных знаний, работодатель имеет право потребовать от работника предъявления диплома или иного документа об образовании или профессиональной подготовке либо их надлежаще заверенных копий, а при приеме на тяжелую работу, работу с вредными и (или) опасными условиями труда - справку о характере и условиях труда по основному месту работы.

Не обязан, а вы мотивируйте тем, что если он заболеет, потребуется копия трудовой для исчисления стажа, иначе не смогут оплатить б/лист

Нет, не обязан! Но если ему не хочется потерять работу, пусть лучше принесет!

В соответствии со ст. 283 ТК РФ при приеме на работу по совместительству к другому работодателю работник обязан предъявить паспорт или иной документ, удостоверяющий личность. При приеме на работу по совместительству, требующую специальных знаний, работодатель имеет право потребовать от работника предъявления документа об образовании и (или) о квалификации либо его надлежаще заверенной копии, а при приеме на работу с вредными и (или) опасными условиями труда - справку о характере и условиях труда по основному месту работы.
Таким образом, требование о предъявлении копии трудовой книжки незаконно.