Начальник требует,чтобы мама уволилась,иначе он грозит испортить ей трудовую,причин для увольнения нет,что предпринять?

Записать их разговор на диктофон и в суд.

Не имеет права уволить.
А мама сама не должна ничего подписывать и стараться не нарушать ничего. Не опаздывать, не отпрашиваться и т. д.
Руководитель будет искать повод уволить по статье. Но потом это легко будет оспорить в суде, если нарушений не было. А если были, то их очень сложно правильным образом оформить и никто не будет с этим заморачиваться. А если уволят по статье - то Вы сможете восстановиться на работе и получить компенсацию морального ущерба, полный расчет и оплату вынужденного прогула по вине работодателя.

Пусть мама не переживает и ничего не подписывает. Испортит - через суд внесет правильную запись и будет наказан. Просто сейчас работодатели частенько пытаются угрожать статьями и т. д.
На самом деле их цель - чтобы Вы уволились сами и им не пришлось сокращать должность и убирать ее из штатного расписания, а вам выплачивать 2-3 оклада.

И также следует начать искать новое место работы, т. к. могут начать травить.

уволиться по собственному без вариантов, суд судом, а работать ей будет казаться адом.

в суд. они этого боятся. бывает достаточно просто уверенно пригрозить. а еще лучше компенсацию из него вытрясти

причина есть всегда даже если это его хреновое настроение. а теперь подумай кто его мог испортить может это и была твоя мама