Могу ли я через полгода пойти в отпуск за этот год ?

Вы заключили новый трудовой договор, который никакого отношения к договору, который Вы расторгли за три дня до заключения нового, не имеет. По старому договору с Вами должны были расплатиться в день увольнения, т. е. выплатить Вам компенсацию за оставшиеся дни отпуска, если такие имелись. Новый трудовой договор это отдельная <песня>.
В соответствии со ст. 122ТК РФ Оплачиваемый отпуск должен предоставляться работнику ежегодно.
Право на использование отпуска за первый год работы возникает у работника по истечении шести месяцев его непрерывной работы у данного работодателя.
Таким образом, право на очередной оплачиваемый отпуск Вы имеете, но необходимо и учесть и наличие у работодателя графика отпусков. Если Вы уже был внесены в график {ст. 123 ТК РФ } и ознакомлены с ним, то соблюдение графика обязательно как для работника, так и для работодателя.

Можете, если вам подпишет ваше заявление руководитель. Через полгода работы у вас появляется право на отпуск - ПРАВО, а не ОБЯЗАННОСТЬ руководство компании его предоставить, т. е. вы можете подойти к руководителю и ПОТРЕБОВАТЬ сказать когда вам его предоставят (поставят в график отпусков) . На самом деле, в декабре вас и так включат в график отпусков и вы и так будете знать когда у вас отпуск. Да, вы можете пойти в отпуск даже на следующий день после приема на работу - авансом - закон это не запрещает, но тут требуется согласие руководства организации. Кстати, отпускной период считается не по календарному году (например за 2011 год) , а по отработанному периоду (если вы устроились с 1 августа, то ваш период для расчета отпуска с 1 августа 2011 по 31 июля 2012 года) .
Надеюсь я ответил на ваш вопрос?

не поняла - вы уволились, вам выплатили компенсацию за неиспользованный отпуск и снова на это же место приняли? тогда нет, т. к. вы получили уже компенсацию за этот отпуск.

да на 2 недели