Имеет ли право начальник отдела оскорблять тебя при других сотрудниках да и вообще? Что делать если это произошло?

Нет конечно, по закону. Тожно его оштрафовать, если есть корпоративный кодекс, который Вы читали и принимали при устройстве на работу.

Вообще нет, это как минимум неприлично.
Однако.
Всё зависит от тяжести совершенного тобой поступка. Иногда и пинка со всей дури не жалко отвесить. И глубоко пофиг, что ты побежишь жаловаться.

увольнением может грозить. галантно и вежливо надо ставить на место

Статья 130. Оскорбление
1. Оскорбление, то есть унижение чести и достоинства другого лица, выраженное в неприличной форме, —
наказывается штрафом в размере до ста минимальных размеров оплаты труда или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до одного месяца, либо обязательными работами на срок до ста двадцати часов, либо исправительными работами на срок до шести месяцев.
2. Оскорбление, содержащееся в публичном выступлении, публично демонстрирующемся произведении или средствах массовой информации, —
наказывается штрафом в размере до двухсот минимальных размеров оплаты труда или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до двух месяцев, либо обязательными работами на срок до ста восьмидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года.

Комм. С. В. Бородин

1. При оскорблении унижение чести и достоинства выражается в отрицательной оценке личности потерпевшего, которая подрывает его престиж в глазах окружающих и наносит ущерб уважению к самому себе.
2. Оскорбление как преступление должно быть выражено в неприличной, т. е. циничной форме, глубоко противоречащей правилам поведения, принятым в обществе. По нашему мнению, оскорбление — это нанесение обиды, которая может быть выражена устно, например, в виде ругательств или нецензурных прозвищ; письменно в виде записок или писем неприличного содержания; в виде телодвижений — пощечин, плевков в лицо и т. п. действий.
3. В отличие от клеветы при оскорблении не имеет значения, соответствует ли действительности отрицательная оценка личности пострадавшего. Об отграничении оскорбления от клеветы см. также комментарий к ст. 129 УК.
4. Признаки оскорбления налицо только в тех случаях, когда действия лица направлены против определенного человека и нет сомнений в том, что речь идет именно о нем. Так, Верховный Суд РФ прекратил уголовное дело об оскорблении и клевете в связи с тем, что обвиняемый в своих публикациях не указывал действительных фамилий конкретных лиц, хотя сюжеты брал из реальных конкретных дел (см. Бюл. ВС РСФСР, 1988, No.8, с. 6).
5. Оскорбление считается оконченным преступлением в момент его нанесения, когда оно совершено непосредственно в присутствии потерпевшего, а в некоторых случаях — в момент, когда стало известно потерпевшему от других лиц или, например, при прослушивании магнитной записи, переданной ему под тем или иным предлогом, например, для записи.
6. Субъективная сторона — умысел, как правило, прямой. Виновный осознает, что он наносит оскорбление, и желает этого, либо при косвенном умысле относится безразлично к тому, что он унижает честь и достоинство другого лица.
7. Субъект преступления — лицо, достигшее 16 лет.
8. Обстоятельством, отягчающим оскорбление и влияющим на его квалификацию, является его публичность, т. е. доведение оскорбления до всеобщего сведения. О понятии публичности см. комментарий к ст. 129 УК.
9. Оскорбление необходимо отграничивать от хулиганства. При совершении последнего мотивом преступления являются хулиганские побуждения, а при оскорблении мотив выражается в проявлении неприязни к лицу, честь и достоинство которого унижается. Кроме того, объектом посягательства при оскорблении является честь и достоинство, а хулиганство посягает на общественный порядок; при оскорблении всегда есть конкретное лицо — потерпевший, при хулиганстве его может и не быть.
10. В тех случаях, когда оскорбление сопряжено с вымогательством, ответственность должна наступать соответственно по ст. 130 и 163 УК, независимо от того, совершены ли эти преступления в реальной или идеальной совокупности.