Кому выплачивать деньги и на каком основании?

По Трудовому кодексу вы вообще ничего не обязаны выплачивать. А по человечески можете выплатить, кому считаете нужным.

Заработная плата, не полученная ко дню смерти работника, выдается членам его семьи или лицу, находившемуся на иждивении умершего на день его смерти. Выдача заработной платы производится не позднее недельного срока со дня подачи работодателю соответствующих документов. (ст. 141 ТК РФ)
Члены семьи работника - несовершеннолетние дети, обратиться может их законный представитель - мать. Естественно, документы должны быть: св-ва о рождении детей, паспорт законного представителя - матери. Ну, или родители покойного могут обратиться.
А выплату на погребение по соответствующей справке из ЗАГСа выплатите тому, кто с этой справкой и свидетельством о смерти придет, кто хоронил, тот и пособие получит.

Опекуну детей

законному представителю его детей

юридически ничего не должны, а чисто по человечески отдайте гражданской жене у которой их совместные дети

законному представителю его несовершеннолетних детей, т. е. не официальной жене

По закону - если нет близких родственников первой очереди, то все выплаты идут родственникам второй очереди и далее. Как с наследством.
А вот ждать кого там назначат опекуном детей - история долгая, так как назначают только по решению суда после различных проверок

Вы не производите выплату до решения суда. Гражданская супруга покойного имеет право подать в суд, вот когда будет решение суда, тогда и будут деньги. У гражданской жены не возникает взаимных прав, в том числе и имущественных, и обязанностей с мужем. Фактическое сожительство государством не защищается, а вы обязаны придерживаться буквы закона. Родители покойного тоже не с нами, как я понимаю.

Самой себе