Как быстрее получить загранпаспорт? Подать документы в местное отделение или оставить заявку на сайте gosuslugi.ru?

Все зависит от нюансов: зарегистрированы ли вы на сайте, собрали ли весь пакет документов и т. п.
Если вы уже зарегистрированы на сайте госуслуг, то можете оставить заявку. Но учтите, что время вам назначат исходя из предпочтений ФМС. Если вы не зарегины на сайте, то по времени это быстро не получится.. .