Почему пишется "тЕсты", а говорится "тЭсты"?

Читайте ответ на ваш вопрос в последнем предложении пункта 3.

Для русского языка в целом характерно противопоставление твёрдых и мягких согласных: мал и мял.
Во многих европейских языках такого противопоставления нет. При заимствовании слово обычно подчиняется произносительным нормам русского языка. Так, перед е в русском языке обычно звучит мягкий согласный: мел.
Так же начинают произноситься и многие заимствованные слова: метр, ребус.

Однако в других случаях в заимствованном слове сохраняется произношение твёрдого согласного: адепт [адэ́пт] , хотя графически это не отражено. Обычно после твёрдого согласного в русском языке пишется э, после мягкого – е. В заимствованных словах, как правило, пишется е. Согласные же могут произноситься и мягко, и твёрдо.

При произнесении заимствованного слова надо учитывать несколько параметров.

1. Произношение твёрдых согласных обычно сохраняют иноязычные фамилии:
Шопе [э] н, Вольте [э] р.

2. Произношение твёрдых согласных обычно сохраняется в словах книжных, малоупотребительных, недавно вошедших в русский язык:
де [э] -факто, апарте [э] ид, ре [э] йтинг
По мере закрепления слова в языке произношение твёрдого согласного может заменяться на произношение мягкого (в соответствии с написанием) . Так, сейчас возможно двоякое произношение согласного в словах, например: ДЕЗОДОРАНТ [дэ] и [де] ,

3. Определённую роль играет тип согласного, расположенного перед е.

- Так, в заимствованных словах с сочетанием ДЕ регулярно идёт процесс смягчения согласного (в соответствии с написанием) : де [е] корация.
- Достаточно активно процесс смягчения согласного идёт и в словах с сочетаниями НЕ, РЕ: агре [е] ссия, шине [е] ль.
- Напротив, сочетание ТЕ достаточно стабильно сохраняет твёрдое произношение согласного: аТЕ [э] лье, , ТЕ [э] рьер.

4. Известную роль играет источник заимствования и место в слове сочетания с е.
Так, устойчиво сохраняют произношение твёрдого согласного звука те слова, что заимствованы из французского языка с конечным ударным слогом:
антре́[э] , безе́[э] , гофре́[э] , кюре́[э] , пасте́[э] ль.

5. В книжных словах, в которых перед буквой е стоит не согласная, а гласная буква, не произносится звук [j].
Ср. : в русских словах: по [j]ел, за [j]елся; в заимствованных словах: дие [э] та, карие [э] с, прое [э] кт, прое [э] ктор, прое [э] кция, рее [э] стр.
Абсолютно недопустимо произношение [j] в слове поэт и производных от него (поэтический, поэтесса) .