До какой высоты нужно налить жидкость.

До какой высоты нужно налить жидкость в кубический сосуд со стороной а, чтобы сила давления на дно была равна силе давление на его бокавые стенки.

Французский ученый Блез Паскаль установил: жидкости и газы передают производимое на них давление одинаково по всем направлениям (закон Паскаля) 🙂

На высоту, равную диаметру

Пусть высота уровня жидкости равна 'h'. Давление жидкости на дно сосуда p=ρ*g*h. Сила давления на дно равна F=p*S=ρ*g*h*a^2.
С боковыми стенками несколько сложнее. Рассмотрим слой жидкости толщиной dx на глубине "х". Давление равно p=ρ*g*х. Рассчитаем силу давления на одну боковую стенку. Этот слой жидкости давит на площадь S=a*dx,
и сила давления будет равна f=(ρ*g*х) *(a*dx). Полное давление жидкости на одну боковую стенку равно интегралу от f=(ρ*g*х) *(a*dx), взятому от 0 до h, т. е F=ρ*g*a*h^2/2. суммарное давление на 4 стенки равно 4*ρ*g*a*h^2/2=2*ρ*g*a*h^2.
Приравниваем силы давлений: ρ*g*h*a^2=2*ρ*g*a*h^2, получаем: 2*h=a, откуда h=a/2.