а платят ли частные няни, домработницы и дворецкие налоги?

Если им начисляют: рабочий стаж, отчисления в пенсионный фонд, медицинскую страховку, предоставляют оплачиваемый отпуск, оплату больничных листов и ещё десяток всяких льгот - тогда ДА, а в данном случае дураки перевелись.