по работе. Может ли систематическое опаздывание на работу быть законной причиной для увольнения работника?

Да, в статье 81 ТК РФ нет такого основания " увольнение за систематические опоздания на работу". Но существует режим рабочего времени, который работники обязаны соблюдать в соответствии с Правилами внутреннго трудового распорядка ( ст. 189 ТК РФ). . Поэтому, может. Особенно, если работник не докажет, что причины опоздания уважительные. Опоздание - нарушение трудовой дисциплины, и работодатель может в порядке ст. 192 ТК РФ привлечь работника к дисциплинарной ответственности. А потом уже применить п. 5 ст. 81 ТК РФ.

Да, за не исполнение своих трудовых обязанностей. Но факты опоздания нужно документировать и привлекать работника к дисциплинарным взысканиям.