Посадил семенами боярышник, выросла кучка побегов и вдруг стала гибнуть. Побеги падают и сохнут.

Создайте парниковый эффект. Закрыть банкой с периодическим проветриванием. В квартире сухо и жарко, вдобавок верхний слой грунта быстро пересыхает. Полив ограниченный, иначе корни "задохнутся" и сеянцы просто погибнут. Еще возможно какое-то грибковое заболевание косит сеянцы - это могло случиться, если грунт не обработан.