Что "какой документ" подписывается после погашения кредита?

Руслан, вы имеете право получить справку, подтверждающую отсутствие задолженности. Но возможно банк потребует оплаты за нее. Кроме того вы можете написать письменное заявление в банк с просьбой подтвердить уплату кредита.
У вас же должны быть все доказательства расчета по кредиту (платежи).

Обязаны выдать справку.

Статья 408. Прекращение обязательства исполнением

1. Надлежащее исполнение прекращает обязательство.
2. Кредитор, принимая исполнение, обязан по требованию должника выдать ему расписку в получении исполнения полностью или в соответствующей части.
Если должник выдал кредитору в удостоверение обязательства долговой документ, то кредитор, принимая исполнение, должен вернуть этот документ, а при невозможности возвращения указать на это в выдаваемой им расписке. Расписка может быть заменена надписью на возвращаемом долговом документе. Нахождение долгового документа у должника удостоверяет, пока не доказано иное, прекращение обязательства.
При отказе кредитора выдать расписку, вернуть долговой документ или отметить в расписке невозможность его возвращения должник вправе задержать исполнение. В этих случаях кредитор считается просрочившим.

Таким образом, справка банка об отсутствии долга является распиской кредитора о том, что обязательство полностью исполнено. Данный документ получать желательно, ибо со временем чеки об оплате кредита превращаются в мусор - ни дат, ни сумм там не видно.
Помните, что данную справку банк обязан предоставить БЕСПЛАТНО, как и справку о наличии задолженности и ее размере (ст. 10 Закона РФ "О защите прав потребителей").