могут ли мать одиночку отправлять в командировку

нет, только по ее согласию

А сам как думаешь? Домовой за детьми ухаживать будет? Или родственники есть?

ст. 259 ТК РФ
"Запрещаются направление в служебные командировки, привлечение к сверхурочной работе, работе в ночное время, выходные и нерабочие праздничные дни беременных женщин.
Направление в служебные командировки, привлечение к сверхурочной работе, работе в ночное время, выходные и нерабочие праздничные дни женщин, имеющих детей в возрасте до трех лет, допускаются только с их письменного согласия и при условии, что это не запрещено им в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации. При этом женщины, имеющие детей в возрасте до трех лет, должны быть ознакомлены в письменной форме со своим правом отказаться от направления в служебную командировку, привлечения к сверхурочной работе, работе в ночное время, выходные и нерабочие праздничные дни.
Гарантии, предусмотренные частью второй настоящей статьи, предоставляются также матерям и отцам, воспитывающим без супруга (супруги) детей в возрасте ДО ПЯТИ ЛЕТ работникам, имеющим детей-инвалидов, и работникам, осуществляющим уход за больными членами их семей в соответствии с медицинским заключением. "

Вашим детям значительно больше 5ти лет, следовательно, если ваши трудовые обязанности предусматривают командировки, то работодатель имеет полное право вас в командировку отправить и ваше согласие на это спрашивать не обязан.

если есть ребенок до 14 лет, то нельзя

Если мама-одиночка работать там хочет, то в командировку может и съездить. Дети уже большие, недельку проживут одни.

у нее статус матери-одиночки или она в разводе??? Вещи разные...