Как решить дифференциальное уравнение y"-4y'+5y=5x-3 y(0)=2 y'(0)=-1

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Значит его общее решение у имеет вид:

у = у0 + у1, где
у0 - общее решение соответствующего однородного уравнения
у1 - частное решение исходного уравнения.

Найдем у0. Для этого составим и решим соответствующее однородное уравнение

y'' - 4y' + 5y = 0
k^2 - 4k + 5 = 0 - характеристическое уравнение.
k1 = 2+i, k2 = 2-i
Тогда у0 = e^(2x) * ( C1cos(x) + C2sin(x) ) - общее решение соответствующего однородного уравнения.
Найдем частное решение неоднородного уравнения у1. Так как правая часть исходного уравнения представляет собой многочлен первой степени и корни характеристического уравнения отличны от нуля, то частное решение будем искать в виде:
у1 = Ах + В. Чтобы найти коэффициенты А и В найдем (y1)' и (y1)''
(y1)' = A
(y1)'' = 0
Подставим значения у1, (y1)' и (y1)'' в исходное уравнение и получим:
-4А + 5Ах + 5В = 5х - 3.
Отсюда 5А=5 и 5В - 4А = -3. Тогда А = 1, В =1/5
Таким образом у1 примет вид

у1 = х + 1/5

В итоге получаем:
у = e^(2x) * ( C1cos(x) + C2sin(x) ) + х + 1/5 - общее решение исходного уравнения.

Чтобы найти решение задачи Коши (то есть чтобы решение удовлетворяло заданным начальным условиям) нужно найти первую производную полученного решения и подставить начальные условия. Получаем С1 = 9/5, С2 = -28/5

Ответ: у = e^(2x) * ( 9/5 * cos(x) - 28/5 * sin(x) ) + х + 1/5