Можно ли записать ребенка на фамилию отца если мы хотим сохранить за матерью статус матери одиночки.

Только при условии что фамилия отца и матери одинаковая.
Если у ребенка нет отца- то фамилия ребенка по фамилии матери. Если отец признал ребенка и дал свою фамилию- то статуса матери-одиночки не получите.

Мать-одиночка, отцовство ребёнка которой не установлено, указывает фамилию ребёнка только свою.

Записать на фамилию отца или признать отцовство? А что это так почетно, статус мать-одиночка? Раньше было позором, да и ребенку кисло всегда с таким клеймом. Если признать отцовство, то это не мать-одиночка.

Нет, это невозможно

В свидетельстве о рождении ребёнка одинокой матери отсутствуют сведения об отце (прочерк) , ибо такие сведения внесены исключительно по указанию матери (а не совместного заявления с отцом ребёнка, что подтверждается справкой ЗАГСа).