Вообще-то коты в отличие от кошек плохо переносят смену обстановки, поэтому переезд даже в самое лучшее место в мире для них - трагедия и стресс на полмесяца, который, кстати, может привести и к гибели. Самое лучшее - оставить дома под надежным присмотром соседей/друзей/родственников, чтобы каждый день приходили кормить, убирать лоток, играть, (если он их принимает) и - самое главное - наливать чистой воды в миску!
вы за котом поухаживайте, кошки очень тяжело переносят перезды, найдите кого нибудь (или с платной передержки попросите) чтоб приходили и кормили кота и убирали за ним, или сами приходите (может к сестре переедите на это время)
К себе возьмите, выручите сестру.
Это смотря в каком городе вы живете. В городах обычно существуют "гостинницы для животных" куда относят животных на время и потом забирают. Даже не днях недалеко от своего дома такую видела. Попробуйте поискать в интернете такие гостинницы для вашего города. А если же не найдете, то попробуйте дать объявление в интернете, таких случаев как у вас много и обычно люди пишут объявления о том, что могут посидеть с животными какое-нибудь время (за деньги естественно), но этот же вариант очень опасен, отдавать котика кому попало.