можно ли поехать в Геленджик из Таганрога без паспорта?

На этом маршруте, если вы поедете автобусами, обязательных проверок паспортов нет.
Но поскольку районы, близкие к Кавказу, уже давно считаются беспокойными, полиция регулярно устраивает проверки документов просто так (или не просто) .

Я не думаю, что задержание для выяснения личности при поездке без паспорта сильно вам понравится.
P.S. А парней, особенно призывного возраста, вообще проверяют почти поголовно.