Можно ли сделать самому тест ДНК и пойти с результатами в суд или же ДНК тест назначается судом?

сделать можно. но только для себя и собственной убежденности. Так как доказательством для суда такой тест являться не будет.
В случае судебного разбирательства если стороны не пришли к согласию, суд будет назначать экспертизу заново в определенном мед, учреждении, у которого имеется аккредитация на проведение судебных экспертиз. Кроме того в судном постановлении будет упоминаться, что эксперт предупреждается об уголовной ответственности за дачу ложного заключения. И только такая экспертиза будет значима для суда