Непрерывность функции

Когда мы говорим о непрерывной функции на интервале (слово "открытый" тут неуместно, т. к. интервал уже предполагает открытость и получилась бы тавтология) , то мы имеем в виду, что она непрерывна в любой точке этого интервала, а именно, существуют оба односторонних предельных значения функции в этой точке, эти пределы равны друг другу и равны значению функции в этой точке. Это - необходимое и достаточное условие непрерывности функции, которое следует из самого определения непрерывности.
Вместо интервала мы можем иметь полуинтервал. Тогда одна из границ его не включается в него, а вторая - включается. Пусть включается левая граница, а правая - нет. Тогда непрерывность функции на таком полуинтервале означает, что функция непрерывна на интервале, который входит состав полуинтервала (интервал получается из полуинтервала путём исключения границы, включённой в полуинтервал, в нашем случае это - левая граница) , а также непрерывна справа в левой границе полуинтервала (которая включена) , что означает, что достаточно существование только правого одностороннего предела при стремлении аргумента к точке - левой границе, и этот предел должен быть равен значению функции в этой точке.
Итак, непрерывность на полуинтервале с включённой левой границей и исключённой правой означает непрерывность функции в любой внутренней точке полуинтервала и непрерывность справа в левой границе полуинтервала.
Аналогично, непрерывность на полуинтервале с включённой правой границей и исключённой левой означает непрерывность функции в любой внутренней точке полуинтервала и непрерывность слева в правой границе полуинтервала.
Когда обе границы включены, мы имеем отрезок. Непрерывность функции на нём означает во-первых непрерывность функции в любой внутренней точке отрезка (т. е. непрерывность на интервале, получающемся из отрезка путём исключения обеих его границ) , во-вторых - непрерывность справа в левой границе отрезка, и в-третьих - непрерывность слева в правой его границе. Все эти три условия должны выполняться одновременно.
Интервал, полуинтервал и отрезок объединяют общим названием - промежуток. Отрезок - это закрытый промежуток (оба конца включены) , полуинтервал - полуоткрытый промежуток (левый конец включён, правый - нет, либо наоборот) , отрезок - открытый промежуток (оба конца исключены) .
Непрерывность функции на промежутке предполагает знание о том, какой тип промежутка мы имеем (отрезок, полуинтервал или интервал) .
Что касается существования производной функции на промежутке, то различают левую производную, правую производную и производную (без определения левая-правая) , предполагающую наличие и равенство обеих производных в точке - и левой и правой) .
Точно так же, как определяют непрерывность функции на промежутке, можно определить дифференцируемость функции на промежутке. Дифференцируемость на интервале означает существование производной в любой точке интервала, дифференцируемость на полуинтервале означает существование производной в любой внутренней точке полуинтервала, а также существование односторонней производной на включённой границе полуинтервала (правой производной - на левой границе, левой производной - на правой границе) , дифференцируемость на отрезке означает существование производной в любой внутренней точке отрезка, существование правой производной на левой его границе и левой производной - на правой границею
Если функция дифференцируема на промежутке, то она непрерывна на этом промежутке. Но непрерывная на промежутке функция может не быть дифференцируемой на нём.