имеют ли право брать оплату за вынос счётчика на улицу ?

Прав тот у кого больше прав. А ты бесправный перед монополистом.

строго по показаниям счетчика

Если вы не заказывали эту услугу,то нет!Кому это нужно пусть и оплачивает!!!,а то они завтра придумают ему сейф купить и на охрану поставить,и часового рядом поставить за ваши деньги...

Это должно быть записано в договоре. Если там сказано, что он является их собственность и они его обслуживают, то никакой платы. Но это всё нужно узнавать по месту проживания, т. к. каждый царёк пишет свои законы.

Подробнее ситуацию распиши.