Можно ли получить свидетельство о рождении ребенка по месту временной регистрации, при рождении детей в другом городе?

Да, может.
Согласно п. 1 ст. 15 ФЗ "Об актах гражданского состояния" - Государственная регистрация рождения производится органом записи актов гражданского состояния по месту рождения ребенка или по месту ЖИТЕЛЬСТВА родителей (одного из родителей).
Согласно п. 1 ст. 20 ГК РФ - Местом жительства признается место, где гражданин постоянно или преимущественно ПРОЖИВАЕТ.
Но ни один закон РФ не предписывает гражданину РФ "постоянно или преимущественно" ПРОЖИВАТЬ именно там, где он зарегистрирован "по месту жительства" согласно штампу в паспорте...
Так что ОБЯЗАНЫ зарегистрировать ребенка и выдать Свидетельство о рождении ребенка, даже если родитель вообще не имеет регистрации там, где он фактически преимущественно проживает
Прживание БЕЗ регистрации основание для привлечения гражданина к административной ответственности, но не для ОТКАЗА в гос. регистрации рождения ребенка.

Однозначно Да. И Вы и ваш ребенок граждане России.

В свидетельстве о рождении пишется именно тот нас. пункт, где родился человек

конечно

Вы можете зарегистрировать рождение ребенка либо в отделе ЗАГС по месту рождения ребенка, либо в отделе ЗАГС по месту жительства родителей (или одного из родителей) .
Насчет регистрации по месту пребывания - можете почитать этот материал:
http://zags.mosreg.ru/commentaries/510.html
То есть: если кроме регистрации по месту пребывания у родителей есть в паспортах штамп о регистрации по месту жительства, ЗАГС может отказать в регистрации рождения ребенка по месту пребывания.
Проще всего в таком случае просто обратиться в ЗАГС по месту рождения, т. е. в ЗАГС того района, где находится родильный дом. Там-то уж рождение зарегистрируют однозначно, без всяких вопросов. И ехать далеко не понадобится.

Можно и легко.

не знаю