Если кинуть в "интернет-приемную" на сайте местного МВД заявление о преступлении -по нему будет доследственная проверка?

Да будет.

должна быть по идее, но навряд ли, тем более по анонимке. Разве что за дело возьмется какой нибудь "анискин" или "жеглов". Но это только в фильмах бывает