Является ли прогулом не выход на работу если я за несколько дней предупредил работодателя но он это не одобрил? .

Ну, надо же - Вы работодателя, по доброму, ПРЕДУПРЕДИЛИ, а он взял и НЕ одобрил... А если серьезно, то согласно ст. 128 ТК РФ "По семейным обстоятельствам и другим УВАЖИТЕЛЬНЫМ причинам работнику по его ПИСЬМЕННОМУ заявлению МОЖЕТ быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы... ".Т. е. у работодателя, (если Ваши причины НЕ относятся к числу прямо предусмотренных ТК РФ, иными федеральными законами либо коллективным договором) вовсе НЕТ обязанности Вам этот отпуск предоставлять! Тем более, что Вы заявления-то явно и не писали, всего лишь ПРЕДУПРЕДИЛИ.. . Так что Ваш не выход на работу вполне может именно ПРОГУЛОМ, за который Вы можете быть уволены по инициативе работодателя и на совершенно законных основаниях.