Как правильно говорить? Налей мне борщ или налей мне борща?

- Налей-ка мне борща! - совершенно нормально. Здесь подразумевается "немного борща".
- Налей мне борщ! - это требование.

- Выпей молоко! - это приказ выпить ВСЁ, что в стакане.
- Выпей молока! - это приглашение вообще попить молока, не сказано, сколько; например, стоит бидон с молоком, и предлагают налить самому, сколько захочешь.

Насчет "требования" и "приказа" Аленицын неправ.
Здесь оба варианта допустимы, но чаще говорят "налей борща" -- в том смысле, что не весь борщ, а только часть.

Это т. н. «партитив» или «второй родительный падеж».

"Выпей водки да выслушай. " (Пушкин, Дубровский)
Оказывается помещик Троекуров был советской лимитой...

Борщ!! ! Эт винительный падеж. "Налей борща" или "дай денег" говорит только лимита (см. сленг сов. времен).

Правильнее будет - пожарь мне шашлыков!

Борщ - существительное второго склонения мужского рода.

Винительный падеж - борщ
Родительный падеж - борща

Исходные выражения: налей борщ - налей (кого, что) борщ.
Налей тарелку борща - тарелку (кого, чего) борща

А потом очень просто - слово "тарелка" подразумевалось, но опускалось при говорении. Получилась "сленговая" форма - налей мне борща.

Аналогично образовалось неправильное и раздражающая "бюрократическая" форма высказывания - согласно договора.

Исходное выражение - согласно договору, или - согласно пунктам договора.

Дальше слово "пунктам" мыслилось, подразумевая точное следование всем пунктам договора, но в бюрократическом быстром изложении стало опускаться. Вот и получилась неправильная форма употребления. Согласно договора.

Если внимательно наблюдать за произносимой последовательностью слов, можно услышать не только произносимые слова, но и прикоснуться к мыслям говорящего. Но в современной практике разговора не словами, а словосочетаниями, а зачастую и предложениями, понимание мышления собеседника часто становится недостижимым.

Будте любезны подать на стол сытный борщ.