Могу ли я по заявке усыпить собаку ( не свою) (14 лет).

Не свою не можешь, это уголовно наказуемое деяние - умышленное уничтожение чужой собственности.

Почему?
Она умирает от старости или что?
Если с ней всё в порядке, просто она уже не такая активная из за старости, то нормальные ветеринары не будут её усыплять...

Что то хочешь украсть у хозяина?

основания? нужны веские основания и документ на собаку и паспорт ваш.

Можете, при условии, что хозяин собаки ПИСЬМЕННО подтвердит своё согласие на усыпление, а также приложит необходимую документацию ( справки, заключение вет. врача) о необходимости данной процедуры.

Заказать киллеру соседа собаку. Сумма будет зависеть от статуса соседа. А Вам 14 (судя по вопросу) лет и денег не хватит.