где и по праву нужно прописать новорожденного ребенка у матери или отца

где хочешь

у любого из родителей

Ребенок должен быть зарегистрирован с одним из родителей. Паспортисты обычно еще требуют заявление от 2-го родителя, что он согласен и что ребенок не зарегистрирован у него