Обязательно ли вписываться в ПТС сразу после составления договора купли продажи?

Т. е могу ли я составить ДКП со старым хозяином, забрать мотоцикл, а примерно через 3 месяца пойти в гаи и вписаться в ПТС без участия старого хозяина?

Не обязательно. Вписаться можете когда захотите, но до постановки на учет. А порой, купив ТС, хотя продать его, не ставя на учет на свое имя. Это возможно при наличии необходимых документов. Тогда запись в ПТС вообще будет лишней.
ПС: Только срок постановки на учет - 10 дней без транзитов и 20 - если получали свой транзитный номер. Далее штрафные санкции за просрочку.

Обычно при составлении купли-продажи тебя вписывают в ПТС. А в ГАИ ты идешь, чтобы получить Свидетельство ТС и номера.

Страховка выписывается на основании ПТС и договора купли-продажи.

Как покупать автомобиль. Юридические аспекты [памятка] .
Думаю применима и к моцику. тут