С какой комнаты лучше начать капитальный ремонт квартиры? С ванной?

С дальней от входной двери.

Сначала наиболее востребованные для жизни комнаты делать и наиболее удалённые от входа - кухня, жилые помещения. Санузел лучше в последнюю очередь.

С ванной, но без затирки швов

Не путайте капитальный ремонт с косметическим. При капитальном делается вся квартира.

Начинают ремонт с замены труб, т. е. кухня, ванная, туалет. Затем меняют пол, окна и двери. Это самое грязное в ремонте. А потом уже на усмотрение

О последовательности ремонта подробно написано тут поглядите, может что подскажет. Организация работ в строительстве тема "вечная" и однозначного ответа тут не существует. По хорошему, ЛЮБАЯ стройка (ремонт, реконструкция не суть важно) начинается с проекта. В случае кап. ремонта в него могут быть включены в части графических материалов: перепланировка, дизайн-проект. Ну и, разумееся, составлен дефектный акт. Дальше уже вопрос будет решаться исходя из возможностей организации работ. Если в квартире все это время предполагается жить, тот работы выполнять по одной комнате, с отсечением ее от остальных помещений ( занавески, закрывание дверей и пр.) . Помещения сан. узлов в подобных случаях обычно делают в конце ремонта. Если же квартира нежилая, то работы производят исходя из производственных возможностей, в т. ч. финансовых и вестись они могут и одновременно во всех помещениях (организация работ отдельная тема) .
Зайдете по ссылке, что непонятно спрашивайте в коментах. Ну и в процессе обращайтесь.

Обычно ремонт и уборку начинают с самого дальнего угла.