может ли мать купить сыну квартиру без доверенности

Если Вы имеете в виду-надо купить обязательно на имя сына, но он не сможет лично в этом участвовать?
Без нотариально удостоверенной доверенности -нет. Хоть в пользу третьего лица. хоть пятого.

может оформить на себя а потом подарить сыну или если сыну еще нет 14 лет, или он ограничен в дееспособности, иначе никак

Может. Покупка в пользу третьего лица. Доверенность не нужна.