дата и время регистрации в загсе устанавливается?

Конечно. Приходите в определённый день (когда принимают заявления) и подаёте заявление на ближайшую дату (обычно даже список когда подавать на какое число у них висит) . Время выбираете тоже любое (из свободных).

Чем раньше обратитесь в ЗАГС на предварительную запись, тем больше возможностей выбирать у вас будет.

дата обязательно! Время нет! Но, если Вы об этом попросите, Вам не откажут!

Конечно. Сами выбираете время среди свободного.