Вправе ли родитель в судебном порядке предьявить счет за все время проживания (содержания) СОВЕРШЕННОЛЕТНЕГО ребенка

Подать можно. Но как будешь доказывать в суде размер затрат на содержание. За коммуналку можно.

Он работает (зарабатывает денежные средства) или учится? И опять же что бы предъявить требование на возмещение расходов по содержанию (проживанию) нужны счета подтверждающие расходы.