Что означает термин "формальное решение" в математике/физике? Чем оно отличается от точного?

Простейший пример.
Корни квадратного уравнения. Если детерминант неотрицательный, то мы имеем решение в виде действительных чисел. Но если детерминант квадратного уравнения отрицательный, то получаем решение в виде комплексных чисел.
С математической точки зрения, комплексные решения при отрицательном детерминанте это самые настоящие решения квадратного уравнения. Их можно подставить в уравнение и формально уравнение выполнится.
Но с точки зрения физики бывает, что такие решения не имеют никакого физического смысла.
В физике есть очень много таких примеров формальных математических решений, которые реально не материализуются в природе. Самые знаменитые это формальные математические решения уравнений Специальной Теории Относительности, в которых имеются частицы с мнимой массой - тахионы, движущиеся со скоростями быстрее скорости света. Или, например, в статфизике, есть формальные математические решения, которые соответствуют отрицательным абсолютным температурам.
Надо сказать, что у физиков всегда был очень большой интерес к формальным решениям. И связан такой интерес с тем, что иногда всё таки таким формальным решениям удается придать какой-нибудь физический смысл. Классическим примером, который вошел во многие учебники, стало решение решение Дираком своих уравнений для релятивистской квантовой механики, где появились формальные математические решения положительно заряженных электронов. Оказалось, что эти положительные электроны это позитроны. Так была открыта антиматерия. Оказалось, что это формальное решение может физически реализоваться.
Поэтому вокруг некоторых формальных решений идут очень большие споры и делаются попытки найти эти решения в экспериментах. Сейчас самыми знаменитыми формальными решениями в физике, которые наделали много шума, стали торсионные поля. Формально математически искривить пространство можно тремя способами: вдоль направления, поперек направления и скрутить пространство вокруг направления. Первые два искривления в природе реализуются. А вот кручение не обнаружено.

Как раз формальное - это точное в математическом смысле. Но оно может и не быть верным физически, если, например, модель используют вне ее сферы применимости.