Если я пропишусь в квартире покойного отца, я буду платить его долги. В наследство я не вступал.

долги по кварплате обязательно, а с остальными сложнее, если квартира в собственности и вы ее оформите на себя, то считай вступили в наследство, стало быть и долги ваши,
Проконсультируйтесь с адвокатом, пользы больше будет, чем тут спрашивать