У бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма квадратов первых n членов равно сумме её первых 2n членов, а сумма кубов первых n членов в три раза меньше суммы первых 3n членов. Найти сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии
если расписать, получим (b1*(1-q^n))/(1-q) = 1/2
сумма квадратов первых n членов равна сумме её первых 2n членов:
b^2 * (1 - (q^2)^n) / (1 - q^2) = b * (1 - q^(2 * n)) / (1 - q)
b / (1 - q^2) =1 / (1 - q)
b / (1 - q) / (1 + q) =1 / (1 - q)
b / (1 + q) = 1
b = 1 + q
сумма кубов первых n членов в три раза меньше суммы первых 3n членов:
b^3 * (1 - (q^3)^n) / (1 - q^3) = 1 / 3 * b * (1 - q^(3 * n)) / (1 - q)
b^2 / (1 - q^3) = 1 / 3 / (1 - q)
b^2 / (1 - q) / (1 + q + q^2) = 1 / 3 / (1 - q)
3 * b^2 = 1 + q + q^2
3 * (1 + q)^2 = 1 + q + q^2
3 + 6 * q + 3 * q^2 = 1 + q + q^2
2 * q^2 + 5 * q + 2 = 0
q = (-5 +- sqrt(25 - 4 * 4)) / 4
q = -0.5
b = 1 + q = 0.5
сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии:
b / (1 - q) = 0.5 / 1.5 = 1 / 3
⇢