можно ли прописать ребенка до 14 лет к бабушке

Нельзя. До 14 лет ребёнок должен проживать, а соответственно, и быть зарегистрирован, с родителями (одним из них).

ребенок должен быть зарегистрирован с одним из родителей

Можно, но только вместе с родителями или одним из них