⇢ 
Инга Хоюр-Оол
НЛ
Наталья Л.
Лениво мне было отвечать, но раз пошла такая пьянка.. . )))
Борелевская сигма-алгебра над R определяется по-разному: как минимальная сигма-алгебра, содержащая все (открытые) интервалы (это первое определение,) , или (второе определение) содержащая все множества вида (- ∞, x). Определения эти эквивалентны, что легко доказать, поэтому я буду пользоваться первым: оно мне привычнее. Если у Вас было другое, - доказательство без труда адаптируется к нему, буквальным переносом.
Прямое (декартово) произведение двух борелевских сигма-алгебр состоит из декартовых произведений борелевских множеств. Простейшей разновидностью такого произведения является прямое произведение интервалов - прямоугольник на плоскости. Возьмем два прямоугольника, расположенных так, что угол одного слегка перекрывает угол другого.
Что имеем? Первое. Оба прямоугольника находятся в декартовом произведении сигма-алгебр.
Второе. Их разность (эдакая толстая буква Г) декартовым произведением никаких множеств не является, что при необходимости легко доказать. Но для сигма-алгебр разность множеств обязана принадлежать сигма-алгебре.
Вывод: декартово произведение борелевских сигма-алгебр сигма-алгеброй не является.
Предыдущие доказательства тож хороши, выбирайте.
========================
mordraq, с доказательством Келаврика все в порядке, но изложение мешает его воспринимать. Фрагмент, который Вам не понравился - попытка доказательства от противного. Он лишь говорит, что треугольник, который является счетным объединением прямоугольников (т. е. элементов декартова произведения борелевских сигма-алгебр) , сам непредставим в виде декартова произведения борелевских множеств, а значит, декартово произведение сигма-алгебр не замкнуто относительно операции счетного объединения. Имеем: это не сигма-алгебра. По сути, мое доказательство идентично этому.
Ольховский
Может, так попробовать:
Возьмем координатную плоскость и координатные оси. На этих осях зададим борелевские сигма-алгебры, порождаемые отрезками, полуинтервалами и интервалами.
Декартово произведение этих сигма-аглебр представляет собой прямоугольники и их сочетания, подчиняющиеся определенным закономерностям.
Если предположить, что вышеуказанное произведение само является сигма-алгеброй, то счетное объединение таких прямоугольников тоже будет принадлежать этой сигма-алгебре, и, следовательно, представимо в виде декартового произведения неких множеств на координатных осях.
Однако, например, для любого треугольника, представимого в виде счетного объединения прямоугольников, такие множества подобрать, по-моему невозможно.
СР
Сергей Рогожин
С первым доказательством что-то не то, или я не понимаю.
Любые треугольники и их границы измеримы в борелевой сигма-алгебре сигма ((-infinity, x1) x (-infinity, x2), (x1,x2) є R^2).
Декартово произведение двух колец множеств вообще не обязано быть кольцом (полукольцо) , алгебр или сигма-алгебр тогда подавно (там по идее или полукольцо, или полуалгебра) .
Пример - произведение самого на себя кольца {A,B,AuB,0}, у элемента AxA не будет дополнения одним элементом до (AuB) x (AuB)).
Единственное что, вот на цилиндрических множествах, вроде бы все определено так, чтобы было хорошо.
Похожие вопросы