Начала работать с 13 ноября, а трудовом договоре дату поставили 14 декабря. Правильно ли это?

Какая дата должна стоять, 13 ноября?

А сегодня сократили и сказали, что записи в трудовой не будет.

Хотя и зп была и 13 % вычитали.

Ситуация такая! Оформление мне сказали в другом городе, так как главный офис там находится. Я пришла и начала работать 13 ноября, писала много раз заявления о приеме и на увольнение с открытой датой, но постоянно их переписывала, так как они не были правильными. Трудовую книжку забрали. Отработав пол месяца получила на руки заработную плату с вычетом 13 %. Далее все шло хорошо. Дали мне трудовой договор и другие документы на подпись, но подписи директора там еще не было. Эти документы я подписала, но так и не отдала обратно директору на его подпись. (сама стормозила) . Но 25 декабря ко мне подошел директор и сказал, что пришло письмо с главного офиса о сокращении и сказал, что сегодня можешь уже не работать. Далее я у него уточняю об оформлении, он говорит, скорее всего ничего не будет. А то, что начала я работать 13 ноября, а трудовой договор 14 декабря, он объясняет тем, что трудовая книжка пока дошла до другого города уже и 14 декабря наступило, а задней датой он сказал, оформлять нельзя. Теперь, я пишу главному офису свои вопросы, а мне отвечают, что они не трудоустраивают работников - собирает и подписывает документы директор.