Сократили с 13 мая а очередной оплачиваемй отпуск был на июль положена ли мне компенсация за дорогу в этом случае?

Я думаю, что Вам оплатят только компенсацию за неиспользованный отпуск, а дорогу нет, поскольку фактически Вы ей не воспользовались. Надо полагать Вы сдали копии билетов, но Вы можете поехать, а можете и нет. Вы пишите, что отпуск в июле, а билеты сдаете до 13-го мая - это КАК?
В госструктурах это происходит так:
1. Для компенсации на приобретение билетов Вы пишите заявление (рапорт) , прикладываете сами билеты и отпускное удостоверение (с отметками: "Прибыл" "Убыл" которое подтверждает, что Вы действительно пользовались правом проезда) . пункты назначения должны совпадать в билетах и в отпускном. Это будет оплата по факту.
2. Если Вы хотите получить деньги на приобретение билетов, то опять пишите заявление, в кассе вокзала (аэропорта) берете справку о стоимости билетов с указанием пунктов назначения и несете в бухгалтерию, а по возвращению из отпуска сдаете билеты и отпускное.
Насчет компенсации при увольнении Вы правы - это разные выплаты, но скажите как Вы собираетесь подтверждать, что действительно воспользовались правом "бесплатного" проезда?

Тут не совсем понятен вопрос про билеты... Вы съездили по льготному до сокращения билету? Тогда вы ничего не нарушили. А компенсацию при сокращении они обязаны вам выплатить в полном объёме. Трудовой кодекс поднимите. статья 78 вроде и далее.

Если отпуск уже использован, и было право на дорогу, вам обязаны все оплатить. Пособие по сокращению не имеет отношения к льготной дороге. Не хотят платить, значит, нечего сокращать

ст. 325 ТК РФ: Выплаты, предусмотренные настоящей статьей, являются целевыми и не суммируются в случае, когда работник и члены его семьи своевременно не воспользовались правом на оплату стоимости проезда и провоза багажа к месту использования отпуска и обратно.

Соответственно положена только компенсация за неиспользованный отпуск. И компенсационные выплаты, положенные при сокращении.