Могу ли я служить в Российской армии если у меня есть только прописка РФ, а гражданства ещё нет?

Вы можете заключить контракт.

Проходить службу можно в любой стране

Скорее всего нет. В армии служат граждане страны.

Нет.
Обязательная военная служба - только гражданам РФ мужского пола.

А прописки в РФ уже лет 20 как нету.
Есть регистрация

Иностранные граждане законно находящиеся на территории РФ могут поступить на военную службу только по контракту и только на должности солдат-сержантов.

Попробуте. ЕСли есть вакансия на девушек контрактной службы, у вас есть среднее образование, вы проойдёте все тесты и медкомиссию, а так же сдадите зачет по физ. подготовке, то вас могут взять ан службу. Здесь важно именно первое - вакантная должность.

Нет, иностранцы в армии РФ не служат.