Что такое следственный комитет и в каком случае он запрашивает дело?

Следственный комитет - орган предварительного следствия, занимающийся расследованием уголовных дел, отнесённых к его компетенции статьёй 151 УПК РФ. Таковые дела не определяются категорией преступления, то есть расследование осуществляется как по тяжких, особо тяжким, так и по делам о преступлениях небольшой и средней тяжести (например, значительная доля таковых дел - это ст. 139, 143, 319 УК РФ и т. д.) . Подразделения СК могут расследовать и дела, которые вообще отнесены к категории дознанческих (например, ст. 116, 117, 158, 166 УК РФ) , если эти преступления совершены несовершеннолетними или в отношении несовершеннолетних. Не знаю, какова практика в регионах, но в моём - эти дела в СК составляют сейчас, наверное, процентов 70.
"Запрашивать дело" - не совсем корректное выражение. Уголовное дело может быть передано в СК из других следственных органов (МВД, ФСКН, ФСБ) по подследственности (например, возбуждено дело по факту кражи, а затем установлена причастность несовершеннолетнего к преступлению, или возбуждено по факту ДТП - потом установлено, что совершил сотрудник полиции) . Могут передаваться и дела из органов дознания. Их изъятие и передачу осуществляет прокурор. Самостоятельно изымать дела (как указано в другом ответе) органы СК не вправе. Возбуждать дела "не своей" подследственности они также не могут (знаю случаи отмены постановлений о возбуждении дел органами СК по статьям 161 и 307 УК РФ) .
Ну и роль их как "дубина в руках Президента" - весьма преувеличена и касается лишь НЕСКОЛЬКИХ дел, имеющих гриф политических