По трудовому договору, официально с уплатой всех налогов, на 3 месяца, нужно делать запись в трудовую о приеме на работу

Да, запись делается если отработано свыше 5 дней, если это основное место работы.
Работодатель обязан вести трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше ПЯТИ дней, если последний не является совместителем (ч. 3 ст. 66 ТК РФ) . Запись о приеме на работу делается на основании соответствующего приказа (распоряжения) не позднее недельного срока (п. 10 Правил ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей, утвержденных Постановлением Правительства РФ от 16.04.2003 N 225 "О трудовых книжках").
Но у вас работник принимается по срочному договору. При принятии на работу сотрудника по срочному трудовому договору сведения о сроке договора указывать в ней не надо. В п. 4 Правил ведения и хранения трудовых книжек, утвержденных Постановлением Правительства РФ от 16.04.2003 N 225, такая необходимость не указана.
Однако из записей трудовой книжки впоследствии все равно станет ясно, что сотрудник работал именно по срочному трудовому договору. При расторжении трудового договора в трудовую книжку следует записать соответствующие основания. Значит, в трудовой книжке будет записано примерно следующее: "Трудовой договор прекращен в связи с истечением срока его действия".

Не обязательно, но это не трудовой, а договор подряда и в нём должно быть отражено, что данный договор не регламентируется трудовым законодательством.... я так работал 5 лет.... контора исправно платила в пенсионный и прочие налоги... а моя трудовая чистая, правда я на всяк случай все договора подряда сохранил...

обязательно

да должны, но вы можете и не делать эту запись, если она вам не нужна