Должен ли работодатель оплатить больничный лст?

Обязан.. . но скорее всего не должен !!!

Нет, конечно. Врач не знает порядка выдачи листов нетрудоспосбности, а там в п. 22 четко сказано:
"... При наступлении временной нетрудоспособности в период отпуска без сохранения заработной платы, отпуска по беременности и родам, отпуска по уходу за ребенком до достижения им возраста 3-х лет листок нетрудоспособности выдается СО ДНЯ ОКОНЧАНИЯ УКАЗАННЫХ ОТПУСКОВ в случае продолжающейся временной нетрудоспособности. "
Это значит, что если у вас отпуск по уходу не закончился, то больничный вам не положен.

Федеральный закон №255-фз от 29.12.2006 г. , гл. 2 ст. 9

" Периоды, за которые пособие по временной нетрудоспособности НЕ НАЗНАЧАЕТСЯ.
Основания для отказа в назначении пособия по временной нетрудоспособности
1. Пособие по временной нетрудоспособности не назначается застрахованному лицу за следующие периоды:
1) за период освобождения работника от работы с полным или частичным сохранением заработной платы или без оплаты в соответствии с законодательством Российской Федерации, за исключением случаев утраты трудоспособности работником вследствие заболевания или травмы в период ежегодного оплачиваемого отпуска; "

Отпуск по уходу за ребенком до 3х лет - это как раз тот самый период освобождения от работы, когда больничный не оплачивается

нет.

Если вы находитесь в отпуске по уходу за ребенком, и получили листок нетрудоспособности, то оплате такой документ не подлежит. (его даже не имели права выдать, значит врач был безграмотный) . Зарплата вам не начисляется, расчитывать больничный вам не из чего. "Правда в том случае, если женщина, находясь в отпуске по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет, работает на условиях неполного рабочего времени (или на дому) , то листок нетрудоспособности должен быть ей выдан и оплачен на общих основаниях. " Но в обоих случаях, отпуск не продлевается.