Сколько раз в году я могу брать отпуск без сохранения заработка?

Сколько угодно, по-согласованию с руководством.
Но имейте в виду, что в стаж работы, дающий Вам право на ежегодный основной оплачиваемый отпуск, не включается время Вашего пребывания в отпусках без сохранения заработной платы, если их общая продолжительность превышает 14 календарных дней в течение рабочего года.
Т. е. право на основной ежегодный оплачиваемый отпуск у Вас сдвигается.

В Трудовом кодексе чётко указано в каких случаях руководитель обязан предоставить Вам отпуск без сохранения з/п, в остальных случаях по договоренности (хоть весь год) .

Статья 128. Отпуск без сохранения заработной платы

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы, либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы, - до 14 календарных дней в году;
работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.

Сколько руководитель позволит. В ТК все обязательные случаи прописаны, а остальные на усмотрение руководителя, как договоритесь.

На небольшие сроки по семейным обстоятельствам