Сто гирек веса 1,2,...100 г разложены на две чаши весов так, что они находятся в равновесии.

Упорядочим все гири по возрастанию массы. Гири, стоящие на какой-то чаше весов, пометим L, на другой чаше - R. Запишем полученную последовательность меток, например, LRRLL....L.

Если в данной последовательности найдется кусок из не менее чем двух подряд идущих L, окруженный буквами R (либо наборот), то решение очевидно.
В противном случае, c точностью до перестановки L и R, последовательность имеет вид

(m гирь L) (n пар RL) (k гирь R),
где m, n, k >= 0;
При n >= 3 решение очевидно.
При n = 2 имеем m, k > 0 и решение тоже очевидно.

Осталось доказать, что случай n <= 1 невозможен.
Пусть 0 <= n <= 1.
Обозначим N = 100 - k, Тогда Масса всех L-гирь равна
1 + 2 + .+N (при n = 0) или
1 + 2 + .+N - (N - 1) (при n = 1).
С другой стороны, т. к. весы по условию уравновешены, масса всех L-гирь равна (1 + 2 + .+100)/2 = 2525.

Ну, тут и так понятно, что дискриминанты уравнений x(x+1)/2 - (x - 1) = 2525 и x(x+1)/2 = 2525 не являются квадратами, следовательно, рациональных (в частности, целых) корней у этих уравнений нет.
Значит, таких N не существует, что и завершает док-во.

1 4 5 8
2 3 6 7

1 -1 1 -1
убирай 2 любых вертикальных полоски с разницей 1 и -1

Если сам не знаешь, как решить, то могу помочь.