Алгебра 11 класс

Замена cosx=t; tє[-1;1].
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y(t)=-t^2+3t-3 на отрезке [-1;1].
y'(t)=-2t+3; t=3/2 - критическая точка, не є[-1;1];
у (-1)=-7;
y(1)=-1.
Ответ: D(y)=[-7;-1].

Множество значений - это от наименьшего до наибольшего. Значит, нам надо найти наименьшее и наибольшее значение функции. Для этого:
1) берем производную
от sin^2(x) как от сложной функции получаем 2 sin x и надо умножить на произвоную от синуса икс. итого (sin^2(x))' = 2 sin x*cos x
от 3cos x производная -3sinx
от 4 производная равна 0.
Таким образом, производная от заданной функции:
2sin x*cos x -3 sin x = 0
2) Ищем точки экстремума, где производая равна нулю.
2sin x*cos x - 3 sin x = 0
sin x = 0 или 2 cos x - 3 = 0
sin x = 0 или cos x = 1.5
х = pi*k, во втором уравнении нет корней
3) Считаем значение функций в найденных в пункте 2 точках и на концах диапазона области определения (здесь - от минус бесконечности до плюс бесконечности, бесконечность не подставляем)
Имеет смысл рассмотреть четные и нечетные k, т. к. в этих точках будут разные значения косинуса.
Итак, если k нечетные, то sin x = 0, cos x = - 1, y = 0 - 3 - 4 = -7
если k четные, то sin x = 0, cos x = 1, y = 0 + 3 - 4 = -1.
4) Выбираем из значений в пункте 3 наиб и наим значения
наименьшее значение -7, наибольшее -1. Таким образом, значение функции лежит в диапазоне [-7; -1]. Постройте в любой программе или онлайн график функции, Вы в этом убедитесь