Если a+b+c=0 доказать что...

Избавимся от с (совсем), полагая всюду с = -(a+b). Первый сомножитель a^2 +ab + b^2 (устно), со вторым приходится повозиться - там ab(b^3 + a^3 + 2ba^2 + 2ab^2) = ab(a+b)(a^2 +ab + b^2). Итого слева нарисовано ab(a+b) (a^2 +ab + b^2)^2. Теперь интереснее - со 2-ой частью. Если a - параметр (вообще говоря, комплексный), то на правую часть смотрим как на функцию от b при фиксированном a (т. е. f(b) ). Ясно, что (некоторыми) ее нулями будут b=0, b = -a, а потому как многочлен от b f(b) делится на b(a+b). Пусть еще r - "первообразный корень кубический из 1", т. е. корень уравнения x^2 +x + 1 = 0 (неважно, который). Тогда f(ra) = (a^7 + ra^7 + r^2 a^7)/7 = 0 - нашли еще один корень, вот только он кратный - надо лишь убедиться, что f '(ra)=0. Cама f ' (b)= b^6 - (a+b)^6, после подстановки b=ra действительно будет a^6 - a^6 = 0, т. е. f(b) как многочлен делится на (b-ra)^2, беря другое r также и на (b-r^2 a)^2, тем самым на многочлен (a^2 +ab + b^2)^2. Сопоставляя эту инфу о корнях, f(b) делится на b(a+b)(a^2 +ab + b^2)^2, причем деление можно проводить в кольце многочленов от 2 переменных. По симметрии, многочлен справа делится тогда на ab(a+b)(a^2 +ab + b^2)^2, т. е. на левую часть, но его степень (он однороден) равна 7, поэтому отличаться левая и правая часть могут только (комплексным) числом, т. е. коэффициентом. Но сравнение коэффициентов (слева и справа) у монома ba^6 показывает, что и там, и там этот коэффициент равен 1, а значит, части этого соотношения не просто пропорциональны, а именно равны. Лень было считать честно, ессно, так что смесь матана и алгебры вышла.