Почему a * (a*b) не равно a^2 * ab или a^3 * b

Сочетательный закон умножения, третий класс начальной школы:
a * (b * c) = (a * b) * c = a * b * c

Пример:
2 * (3 * 7) = 2 * (21) = 42. Это правильно?
Выполнили умножение в скобках первым делом. Значит, всё по правилам и правильно.

По твоей же логике:
2 * (3 * 7) = 2 * 3 * 2 * 7 = 6 * 14 = 84. Как ты понимаешь, 84 не равно 42. Значит, где-то твоя логика потерпела фатальную ошибку... и скобки таким образом в случае с умножением не раскрываются...

А правильно вот так:
2 * (3 * 7) = 2 * 3 * 7 = 42.
Или так:
2 * (3 * 7) = (2 * 3) * 7 = 6 * 7 = 42.

__

P.s.

В случае с сложением - пожалуйста.
a * (b + c) = a*b + a*c

Проверка:
2 * (3 + 7) = 2 * (10) = 20.
2 * (3 + 7) = 2 * 3 + 2 * 7 = 6 + 14 = 20.
Всё правильно.

Умножение дистрибутивно относительно сложения, а не умножения!

Не должно оно умножаться на каждое число в скобке. При умножении и делении скобки не ставятся вовсе, потому что все действия выполняются слева направо. А если скобки все таки стоят, то это ничего не меняет. Ты можешь выполнить сразу действие в скобках, а потом умножить полученное выражение на выражение перед скобками. В случае с переменными будет так:
а * (а*в) = а^2 * в

Добавлю, что умножаться на каждое число в скобке оно будет в том случае, если в скобках стоит сложение или вычитание. В случае же с умножением и делением действия всегда выполняются строго слева направо.