Домашние задания: Алгебра

Чётные и нечетные числа

Известно, что сумма 20 целых чисел n1, n2, …, n20 нечётна. Какие из следующих чисел заведомо чётные?

1)n1−3n2+n3−3n4+…+n19−3n20

2)n1⋅n2⋅…⋅n20

3)n1⋅n2⋅…⋅n10+n11⋅n12⋅…⋅n20

4)2n1+n2+2n3+n4+…+2n19+n20
ОФ
Ольга Фатеева
95
Смотри. Сперва докажем, что в этой последовательности есть хотя бы одно четное число. Предположим, что все числа нечетные. Известно, что сумма нечетных чисел является четным числом, если число слагаемых четное. У нас 20 слагаемых. И, поскольку сумма нечетная, то делаем вывод о том, что не все слагаемые нечетные.

Далее используем следующее свойство. Произведение чисел будет четным, если хотя бы один из множителей четный. Поскольку как минимум один из множителей четный, то 2 вариант - заведомо четное число.
Инна Камалова
Инна Камалова
6 652
Лучший ответ
Ольга Фатеева Спасибо, а остальные нет?
Инна Камалова 1 вариант. первое, третье, пятое и т. д. слагаемое останутся такими же, как были, четными или нечетными. второе, четвертое, шестое и т. д сохранят свою четность или нечетность, благодаря первому и второму свойству. Т. е. 3*четное=четное - 1 свойство. 3*нечетное=нечетное - 2 свойство. По итогу мы можем сказать, что первое число заведомо нечетное, как и первоначальное.
Инна Камалова 3. вариант. Сумма произведений. Два слагаемых. Эта сумма будет однозначно четной в том случае, если оба слагаемых четные или оба слагаемых четные или оба нечетные. Оба нечетными быть не могут, поскольку мы уже выяснили, что хоть одно число, да четное. Соответственно, хоть одно произведение тоже четное - свойство 1. Но одно из слагаемых вполне может быть нечетным, если все множители нечетные (свойство 2). Ничего не мешает десяти числам из предложенных 20 быть нечетными. Т. е. варианты, где 3 число будет нечетным существуют. Можешь в качестве примера придумать любую последовательность из так, чтобы в первом слагаемом все множители, кроме одного были нечетные, а во втором все нечетные. Результат будет нечетный.
Инна Камалова 4. вариант. Первое. третье, пятое и т. д. число станут четными, по второму свойству. Однако остальные числа не изменятся. Результат останется непредсказуемым. Если среди оставшихся чисел будет нечетное количество нечетных чисел, результат так же будет нечетным (следствие из пятого свойства). Ну, например, все числа четные, а n2 нечетное. И все. Результат нечетный.

Поэтому однозначно четное, как я понимаю, только второй вариант.
1) Предположим, что все числа, кроме n2 - чётные, а n2 нечётное. Результат, получающийся в примере, не учитывая "-3n2" чётный. Если вычесть "-3n2", результат будет нечётным. Число НЕ ЯВЛЯЕТСЯ заведомо чётным.

2) Предположим, что все числа, кроме одного - чётные, а одно - нечётное. Произведение всех чётных чисел - чётное. Умножаем на нечётное - будет нечётное. Число НЕ ЯВЛЯЕТСЯ заведомо чётным.

3) То же самое, предположим, что все, кроме одного - чётные, а одно - нечётные. Одна из половин будет иметь чётное произведение, а другая нечётное. Их сумма - число нечётное. Число НЕ ЯВЛЯЕТСЯ заведомо чётным.

4) Предположим, что все числа, кроме n2 - чётные, а n2 - нечётное. Сумма всех чисел, не учитывая n2 - чётная. Если прибавить n2 - сумма получается нечётной. Число НЕ ЯВЛЯЕТСЯ заведомо чётным.

Никакие

Всё работает, даже если все четыре варианта применяются к одному и тому же набору чисел, где все, кроме n2 - чётные, а n2 - нечётное. Сумма всех чисел в таком ряду нечётная (сумма всёх чётных - чётная, плюс нечётное - получается нечётное, как и задано условием задачи.
Dilya Muhametkarimova
Dilya Muhametkarimova
85 541
Ольга Фатеева Не правильно должен быть правильный ответ
Valerij Tarasov Козлов, с чего ты взял, что если четное умножить на нечетное получается нечетное? Попробуй, удивишься. )

Похожие вопросы